공업수학. 뉴턴의 냉각법칙

 

 

공업 수학 문제중에

술집을 나설때 체포된 잭은 최소한 삼십분은 안에 있었다고 주장하였다

( 그 말은 알리바이를 그에게 제공할 것이다.) 경찰은 그를 체포 하자마자

그의 차(술집 근처에 주차 되었던) 냉각수의 온도를 검사해 보니 처음엔

190F가 나왔고 30분 후에는 110F가 각각 나왔다. 이것들은 잭에게 알리바이를

주는가?(검사를 통해 풀어라).

 

처음 질문이 아마

Newton의 냉각 법칙에 관한것 같습니다

dT/dt=k(T-Ta)

T(0)=190,T(30)=110이구요

Ta의 값을 알 수 없기 때문에 원래 이 식은 풀 수가 없습니다

단지 알 수 있는건 Ta가 110과 190사이 라는 것 뿐이죠

황금 규칙에 따라 Ta를 150이라고 정합니다(110과 190 중간값)

dT/(T-150)=kdt

양변 부정적분하면

ln(T-150)=kt+c가 되고

T-150=ce^kt (여기서 c=e^c)

T=150+ce^kt

T(0)=150+c=190이므로 c는 40이 나옵니다

따라서 식을 정리하면 T=150+40e^kt가 나오죠

T(30)을 대입합니다

150+40e^30k=110

40e^30k=-40

e^30k=-1이 됩니다

여기서 모순이 생깁니다

e=2.718........이죠?

어떤 양의 수를 제곱한다해도 음의 값이 나올수가 없습니다

따라서 알리바이가 될 수 없습니다

맞는진 모르겠습니다 제 생각은 이렇습니다^^

 

http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=127287475&qb=64OJ6rCB7IiY7J2YIOyYqOuPhOulvCDqsoDsgqztlbTrs7Tri4gg7LKY7J2M7JeQIDE5MOqwgCDrgpjsmZTri6QuIOyVjOumrOuwlOydtOulvCDsoJzqs7XtlbQg7KO864qU6rCA&enc=utf8&section=kin&rank=1&search_sort=0&spq=0&pid=RR8thc5Y7u4ssc6zRt8sssssstK-356445&sid=UU8BR3JvLDUAAGe-LfM

 

 

29. 모델링부터 하자.

초기조건

1. 처음 온도는 10도이다.

2. 2분후 온도는 18도이다.

3. 23도가 되려면 얼마나 걸리겠는가->먼저 22.8도를 추측해보아라.

이를 풀려면 물리법칙-뉴턴의 냉각법칙을 이용해서 풀어야 한다.

시간에 따른 온도의 변화는 주위 온도와의 차이에 비례한다. 즉

(k=비례상수, T=23, =변하는 온도)

처음 온도를 이용해서 C값을 구해주자

이제 조건 2를 이용해서 비례상수를 구하자

이제 22.8도가 되려면 몇분이 필요한지 구하자.

즉 8.73분이 필요하다.

그러나 지수 함수이므로 결과값이 0이 될수는 없다

즉 23도는 되지 못한다.

[출처] 연습문제 1-3 풀이|작성자 곰탱뼈

문) 어떤 물체가 냉각될 때의 냉각율은, 그 물체의 온도와 그 주변매체의 온도(상수)와의 차에 비례한다고 한다. 이 물체의 냉각상태를 나타내는 미분방정식을 구하고 그 해를 구하여라. * 해를 구하기 위한 예시 : 지금 화씨 350도의 오븐에서 파이를 꺼내어, 화씨 75도의 실내에서 식히고 있다고 하자. 15분후에 파이의 온도는 화씨 150도가 되었다. 이때 이 파이가 먹기 좋은 온도인 화씨 80도가 되려면, 시간이 얼마나 걸릴지 계산해보라

 

시간 t에서의 물체의 온도를 T(t)라고 하면 물체의 온도가 변화하는 비율은 물체의 온도의 변화량을 시간의 변화량으로 나눈 것입니다. 그런데 이러한 것을 수학적으로 모형화할 때에는 시간의 간격을 0으로 보내는 극한을 생각하게 됩니다. 따라서 온도함수의 도함수 ${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">d</span>}}{}}$ T d t 가 바로 냉각률이 됩니다.

뉴톤의 냉각법칙에 의하여 냉각율은 물체의 온도 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">T</span>}}$ ( t )와 그 주변매체의 온도 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">S</span>}}$ 의 차 ${\displaystyle <span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">(</span>}$ T ( t ) - S 에 비례하기 때문에 비레상수를 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">k</span>}}$ 라고 하면 다음과 같은 식이 만족됩니다.

${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">d</span>}}{}}$ T d t = - k ( T - S ) , k > 0 온도가 낮아지므로 비례상수는 음수.

이것은 변수분리형 미분방정식이므로 변수를 분리하고 적분하면 다음과 같이 해를 구할 수 있습니다.

${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">1</span>}}{}}$ T - S d T = - k d t , ∫ 1 T - S d T = - ∫ k d t , ln ( T - S ) = - k t + C ' , T - S = e c ' e - k t . 즉,

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">T</span>}}$ ( t ) = S + C e - k t

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">t</span>}}$ = 0 일 때에는 물체의 초기온도가 되므로 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">T</span>}}$ ( 0 ) = S + C e - k 0 가 성립합니다. 따라서 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">C</span>}}$ = T ( 0 ) - S 를 얻습니다. 이것을 위의 식에 대입하면 다음과 같은 물체의 온도에 대한 식을 얻게 됩니다.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">T</span>}}$ ( t ) = S + ( T ( 0 ) - S ) e - k t

* 해를 구하기 위한 예시 : 지금 화씨 350도의 오븐에서 파이를 꺼내어, 화씨 75도의 실내에서 식히고 있다고 하자. 15분후에 파이의 온도는 화씨 150도가 되었다. 이때 이 파이가 먹기 좋은 온도인 화씨 80도가 되려면, 시간이 얼마나 걸릴지 계산해보라.

(풀이) 화씨350도의 오븐에서 파이를 꺼냈기 때문에 파이의 초기온도는 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">T</span>}}$ ( 0 ) = 350 이 됩니다. 화씨 75의 실내에서 식히고 있기 때문에 주변의 온도가 화씨 75도로 유지되고 있다고 가정하면 적절합니다.(사실은 파이가 뜨겁기 때문에 좁은 실내에서 파이를 식힌다면 주변의 온도도 약간은 상승한다고 보아야 하지만 실내가 아주 비좁지 않는 한 온도가 상승하는 정도는 작기도 하고 주변의 온도상승까지 계산하게 되면 식이 너무 복잡해 지기 때문에 수리적으로 모형화할 때에는 주변의 온도는 75도로 유지가 된다고 가정하는 것이 적절합니다.)

이렇게 가정하면 위의 식에서 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">S</span>}}$ = 75 가 됩니다. 따라서 시간 t에서의 파이의 온도 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">T</span>}}$ ( t ) 는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">T</span>}}$ ( t ) = 75 + ( 350 - 75 ) e k t = 75 + 275 e - k t

한편 15분후에 파이의 온도가 150도가 되었으므로 다음을 얻습니다.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">150</span>}}$ = T ( 15 ) = 75 + 275 e - k ⋅ 15

이 식으로 부터 상수 k를 구할 수 있습니다. 즉,

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">k</span>}}$ = - ln ( 75 275 ) 15 = ln ( 275 75 ) 15 = ln ( 11 3 ) 15 .

이 값을 온도식에 대입하면 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">T</span>}}$ ( t ) = 75 + 275 e - ln ( 11 3 ) 15 t

파이의 온도가 80도가 되는 시간을 ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">t</span>}}_{}}$ 80 이라고 하면 다음을 얻습니다.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">80</span>}}$ = 75 + 275 e - ln ( 11 3 ) 15 t 80

이식을 ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">t</span>}}_{}}$ 80 에 관하여 풀면 걸리는 시간이 나옵니다. 즉,

${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="FONT-SIZE:\; 9pt">e</span>}}^{}}$ - ln ( 11 3 ) 15 t 80 = 5 275 , t 80 = - 15 ln ( 5 275 ) ln ( 11 3 ) = 15 ln 55 ln ( 11 3 ) = 15 ln 11 + ln 5 ln 11 - ln 3 (분)

마지막 부분의 값을 실제로 계산하는 것은 컴퓨터에 있는 공학용계산기로 계산하시면 되므로 자세한 계산은 생략합니다.

출처 : http://www.emath.co.kr/KW/detail.php?idx=603&searchstring=integral